Matematika Diskrit

Matematika diskrit atau diskret adalah cabang matematika yang membahas segala sesuatu yang bersifat diskrit. Diskrit disini artinya tidak saling berhubungan (lawan dari kontinyu). Objek yang dibahas dalam Matematika Diskrit - seperti bilangan bulat, graf, atau kalimat logika - tidak berubah secara kontinyu, namun memiliki nilai yang tertentu dan terpisah. Beberapa hal yang dibahas dalam matematika ini adalah teori himpunan, teori kombinatorial, teori bilangan, permutasi, fungsi, rekursif, teori graf, dan lain-lain. Matematika diskrit merupakan mata kuliah utama dan dasar untuk bidang ilmu komputer atau informatika.

Topik-topik yang dibahas atau dipelajari dalam matematika diskrit.

Logika (logic) dan penalaran
Teori Himpunan (set)
Matriks (matrice)
Relasi dan Fungsi (relation and function)
Induksi Matematik (mathematical induction)
Algoritme (algorithms)
Teori Bilangan Bulat (integers)
Barisan dan Deret (sequences and series)
Teori Grup dan Ring (group and ring)
Aljabar Boolean (Boolean algebra)
Kombinatorial (combinatorics)
Teori Peluang Diskrit (discrete probability)
Fungsi Pembangkit dan Analisis Rekurens
Teori Graf (graph–included tree)
Kompleksitas Algoritme (algorithm complexity)
Otomata & Teori Bahasa Formal (automata and formal language theory)

ReferensiSunting
1. ^http://www.uniksharianja.com/2015/06/mengenal-matematika-diskrit-atau-matematika-informatika.html
2. Matematika Diskrit
3. Bab 1 Pengantar Matematika Diskrit
  Matematika diskrit atau diskret adalah cabang matematika yang membahas segala sesuatu yang bersifat diskrit. Diskrit disini artinya tidak saling berhubungan (lawan dari kontinyu). Objek yang dibahas dalam Matematika Diskrit - seperti bilangan bulat, graf, atau kalimat logika - tidak berubah secara kontinyu, namun memiliki nilai yang tertentu dan terpisah. Beberapa hal yang dibahas dalam matematika ini adalah teori himpunan, teori kombinatorial, permutasi, relasi, fungsi, rekursif, teori graf, dan lain-lain. Matematika diskrit merupakan mata kuliah utama dan dasar untuk bidang ilmu komputer atau informatika.
  PPT Preview | Download
  
  Bab 2 Logika
  Logika merupakan dasar dari semua penalaran (reasoning). Penalaran didasarkan pada hubungan antara pernyataan (statements).
  PPT Preview | Download
  
  Bab 3 Himpunan
  Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
  PPT Preview | Download
  
  Bab 4 Matriks, Relasi dan Fungsi
  Matriks adalah kumpulan bilangan berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. Pemanfaatannya misalnya dalam menjelaskan persamaan linier, transformasi koordinat, dan lainnya.
  Relasi merupakan hubungan antara dua elemen himpunan.Hubungan ini bersifat abstrak, dan tidak perlu memilik arti apa pun baik secara konkrit maupun secara matematis.
  Fungsi digunakan untuk mendefinisikan struktur-struktur diskrit seperti sequense dan string, untuk mendiskripsikan lama waktu yang digunakan dan untuk memecahkan persoalan dengan komputer, atau di dalam ilmu komputer dikenal adanya fungsi rekursif, yaitu fungsi yang memanggil dirinya sendiri.
  PPT Preview | Download
  
  Bab 5 Induksi Matematik
  Induksi matematis adalah suatu teknik pembuktian penting secara ekstrem dapat digunakan untuk membuktikan pernyataan tegas. Induksi matematis digunakan secara ekstensif untuk membuktikan hasil tentang berbagai objek diskret luas. Misalnya, induksi matematis digunakan untuk membuktikan hasil tentang kompleksitas algoritma, pembetulan tipe program komputer tertentu, teorema tentang graf dan pohon, dan juga suatu range luas dari identitas dan pertidaksamaan.
  PPT Preview | Download
  
  Bab 6 Teori Bilangan
  Teori bilangan (number theory) adalah teori yang mendasar dalam memahami algoritma kriptografi. Bilangan yang dimaksudkan adalah bilangan bulat (integer).
  PPT Preview | Download
  
  Bab 7 Kombinatorial
  Kombinatorial adalah cabang matematika yang berguna untuk menghitung jumlah penyusunan objek-objek tanpa harus menghitung semua kemungkinan susunannya.
  PPT Preview | Download
  
  Bab 8 Aljabar Boolean
  Aljabar Boolean adalah struktur aljabar yang "mencakup intisari" operasi logika AND, OR dan NOR dan juga teori himpunan untuk operasi union, interseksi dan komplemen.
  PPT Preview | Download
  
  Bab 9 Graf Bagian 1
  Graf dapat di sebut sebagai kumpulan titik yang disebut simpul dan dihubungkan oleh garis yang disebut busur. Graf dapat di gunakan sebagai cara yang sangat sederhana untuk memodelkan banyak jaringan. Sebagai contoh, sebuah jaringan komunikasi dapat dimodelkan ke dalam bentuk graf , dengan simpul menyatakan pusat komunikasi (contohnya, saluran tel epon) dan busur menyatakan jaringan komunikasi (contohnya, saluran telegraf). Dalam memodelkan sebuah jaringan dengan graf , simpul dalam graf umumnya dinyatakan dalam bentuk titik yang menyatakan asal aliran serta tempat berakhir (contohnya, stasiun kereta api , terminal , pabrik, gudang, dan lain-lain). Busur dalam graf secara umum menyatakan saluran di mana komoditas berakhir (contohnya, trayek kereta api , rute penerbangan, ali ran pipa, dan lain-lain).
  PPT Preview | Download
  
  Bab 10 Graf Bagian 2
  Ini adalah lanjutan dari Graf bagian 1 di bab sebelumnya
  PPT Preview | Download
  
  Bab 11 Pohon
  Pohon (tree) merupakan salah satu bentuk khusus dari struktur suatu graf.Misalkan A merupakan sebuah himpunan berhingga simpul (vertex) pada suatu graf yang terhubung. Untuk setiap pasangan simpul di A dapat ditentukan suatu lintasan yangmenghubungkan pasangan simpul tersebut. Suatu graf terhubung yang setiap pasangansimpulnya hanya dapat dihubungkan oleh suatu lintasan tertentu, maka graf tersebutdinamakan pohon (tree). Dengan kata lain, pohon (tree) merupakan graf tak-berarah yang terhubung dan tidak memiliki sirkuit.
  PPT Preview | Download
  
  Bab 12 Kompleksitas Algoritma
  Kompleksitas Algoritma adalah besaran yang dipakai untuk menerangkan model abstrak pengukuran waktu/ruang. Ada dua macam kompleksitas algoritma, yaitu: kompleksitas waktu dan kompleksitas ruang. Sebuah algoritma tidak saja harus benar, tetapi juga harus mangkus (efisien).
  Algoritma yang bagus adalah algoritma yang mangkus. Kemangkusan algoritma diukur dari berapa jumlah waktu dan ruang (space) memori yang dibutuhkan untuk menjalankannya. Algoritma yang mangkus ialah algoritma yang meminimumkan kebutuhan waktu dan ruang. Kebutuhan waktu dan ruang suatu algoritma bergantung pada ukuran masukan (n), yang menyatakan jumlah data yang diproses. Kemangkusan algoritma dapat digunakan untuk menilai algoritma yang terbaik.
  PPT Preview | Download
  
  Bab 13 Aplikasi Induksi Matematik
  Aplikasi Induksi Matematik digunakan untuk membuktikan kebenaran program
  PPT Preview | Download MATERI KULIAH © 2015. ALL RIGHTS ARE STRICTLY RESERVED.
Pengertian Matriks

Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun secara baris atau kolom atau kedua-duanya dan di dalam suatu tanda kurung. Bilangan-bilangan yang membentuk suatu matriks disebut sebagai elemen-elemen matriks. Matriks digunakan untuk menyederhanakan penyampaian data, sehingga mudah untuk diolah.Sebagai contoh:

Diketahui jumlah penjualan mobil jenis A, B, dan C, dengan harga jual masing-masing 146, 275, dan 528 (dalam juta) pada kota-kota P, Q, R, adalah :

JENIS MOBIL HARGA MOBIL (JUTA) JUMLAH PENJUALAN TIAP KOTA (UNIT)

KOTA P KOTA Q KOTA R

A 146 34 56 41

B 275 45 36 37

C 528 51 32 46

Data penjualan mobil tersebut dapat dibuat dalam bentuk matriks sebagai beri

Matriks harga mobil adalah $\begin{pmatrix} 146 \\ 275 \\ 528 \end{pmatrix}$

Matriks jumlah penjualan adalah $\begin{pmatrix} 34 & 56 & 41 \\ 45 & 36 & 37 \\ 51 & 32 & 46 \end{pmatrix}$

Lebih sederhana bukan?

Ordo Matriks

Dijelaskan sebelumnya matriks terdiri dari unsur-unsur yang tersusun secara baris dan kolom. Jika banyak baris suatu matriks adalah m, dan banyak kolom suatu matriks adalah n, maka matriks tersebut memiliki ordo matriks atau ukuran m x n. Perlu diingat bahwa m dan n hanya sebuah notasi, sehingga tidak boleh dilakukan sebuah perhitungan (penjumlahan, perkalian). Pada contoh matriks jumlah penjualan mobil diatas diketahui bahwa:

Banyak baris, m = 3

Banyak kolom, n = 3

Ordo matriks, m x n = 3 x 3

Penamaan/notasi matriks menggunakan huruf kapital, sedangkan elemen-elemen di dalamnya dinotasikan dengan huruf kecil sesuai dengan penamaan matriks dan diberi indeks ij. Indeks tersebut menyatakan posisi elemen matriks, yaitu pada baris i dan kolom j. Sebagai contoh, matriks sebelumnya untuk penjualan mobil:

$E = \begin{pmatrix} e_{11} & e_{12} & e_{13} \\ e_{21} & e_{22} & e_{23} \\ e_{31} & e_{32} & e_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 34 & 56 & 41 \\ 45 & 36 & 37 \\ 51 & 32 & 46 \end{pmatrix}$

Dimana, $e_{12} = 56$ adalah elemen matriks yang berada pada baris ke-1 (i = 1) dan kolom ke-2 (j = 2). Begitu juga dengan elemen matriks yang lainnya.

Pada matriks terdapat dua jenis diagonal, yaitu diagonal utama dan diagonal sekunder. Diagonal utama merupakan elemen-elemen dengan yang bisa membentuk garis miring. Diagonal sekunder merupakan kebalikan dari garis miring diagonal utama. Perhatikan matriks berikut:

$E = \begin{pmatrix} 34 & 56 & 41 \\ 45 & 36 & 37 \\ 51 & 32 & 46 \end{pmatrix}$

Diagonal utama adalah elemen 34, 36, 46, sedangkan diagonal sekunder adalah elemen 41, 36, 51.

Matriks Identitas

Matriks diagonal dengan elemen-elemen diagonal utamanya bernilai 1 disebut matriks identitas. Pada umumnya matriks identitas dinotasikan dengan “I”. Contoh:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ atau $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Jenis-jenis Matriks

Matriks dapat dikelompokan ke beberapa jenis berdasarkan pada jumalah baris dan kolom serta pola elemen matriksnya sebagai berikut :

1. Matriks Baris dan Matriks Kolom

Matriks baris adalah suatu matriks yang hanya memiliki satu baris saja. Sedangkan, matriks kolom adalah suatu matriks yang hanya memiliki satu kolom saja. Contoh:

A = (1 4) atau B = (3 7 9) adalah matriks baris

$\begin{pmatrix} 146 \\ 275 \\ 528 \end{pmatrix}$ atau $D = \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}$ adalah matriks kolom

2. Matriks Persegi

Matriks yang memiliki jumlah kolom dan baris yang sama disebut matriks persegi. Matriks persegi memiliki ordo n.

Contoh:

$A = \begin{pmatrix} 34 & 56 & 41 \\ 45 & 36 & 37 \\ 51 & 32 & 46 \end{pmatrix}$ adalah matriks persegi berordo 3, atau

$B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ adalah matriks persegi berordo 2.

3. Matriks Segitiga Atas dan Segitiga Bawah

Matriks persegi A yang memiliki elemen matriks $a_{ij} = 0$ untuk $i > j$ atau elemen-elemen matriks dibawah diagonal utama bernilai 0 disebut matriks segitiga atas. Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks $a_{ij} = 0$ untuk $i < j$ atau elemen-elemen matriks diatas diagonal utama bernilai 0 disebut matriks segitiga bawah.

Contoh:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 6 & 4 \\ 0 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$ adalah matriks segitiga atas,

$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 7 & 3 & 0 \\ 4 & 6 & 4 \end{pmatrix}$ adalah matriks segitiga bawah.

4. Matriks Diagonal

Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks $a_{ij} = 0$ untuk $i \neq j$ atau elemen-elemen matriks diluar diagonal utama bernilai 0 disebut matriks diagonal.

Contoh:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$ atau $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$

5. Matriks Skalar

Matriks diagonal yang memiliki elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai sama disebut matriks skalar.

Contoh:

$A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ atau $B = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$

6. Matriks Indentitas

Sudah dijelaskan di atas.

7. Matriks Simetris

Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks baris ke-I sama dengan elemen matriks kolom ke-j untuk i = j disebut simetris. Atau, dapat dikatakan elemen $a_{ij}$ sama dengan elemen $a_{ji}$ .

Contoh:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & 5 \\ 4 & 5 & 7 \end{pmatrix}$

Dapat dilihat bahwa elemen baris ke-1 sama dengan kolom ke-1, baris ke-2 sama dengan kolom ke-2, dan baris ke-3 sama dengan kolom ke-3.

Transpose Matriks

Transpose matriks merupakan perubahan baris menjadi kolom dan sebaliknya. Transpose matriks dari $A_{m x n}$ adalah sebuah matriks dengan ukuran (n x m) dan bernotasi AT. Jika matriks A ditanspose, maka baris 1 menjadi kolom 1, baris 2 menjadi kolom 2, dan begitu seterusnya.

Contoh:

$\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$ ditranspose menjadi $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ .

Sifat dari transpose matriks: $(A^T)^T = A$ .

Contoh Soal dan Pembahasan

Jika $A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2}a & 2 \\ b & \frac{3}{2}c \end{pmatrix}$ dan Jika $B = \begin{pmatrix} 2c-3b & 2a+1 \\ a & b+7 \end{pmatrix}$ , maka agar $A = B^T$ , berapakah nilai c?

Pembahasan:

Diketahui bahwa $A = B^T$

$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}a & 2 \\ b & \frac{3}{2}c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2c-3b & 2 \\ a & b+7 \end{pmatrix}^T$

$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}a & 2 \\ b & \frac{3}{2}c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2c-3b & a \\ 2a+1 & b+7 \end{pmatrix}$

Sehingga didapat 4 persamaan baru dari elemen-elemen matriksnya, yaitu:

$\frac{1}{2}a = 2c - 3b$      (persamaan ke-1)

2 = a     (persamaan ke-2)

b = 2a + 1     (persamaan ke-3)

$\frac{3}{2}c = b + 7$      (persamaan ke-4)

Dari persamaan tersebut dapat dilakukan substitusi persamaan untuk memperoleh nilai c, yaitu:

a = 2, maka:

b = 2a + 1 = 2(2) + 1 = 5

dan
$\frac{3}{2}c = b + 7$

$c = \frac{2}{3}(b + 7) = \frac{2}{3}(5 + 7) = 8$ .

Artikel: Pengertian Matriks, Ordo, Jenis, & Transpose Matriks
Kontributor: Alwin Mulyanto, S.T.
Alumni Teknik Sipil FT UI

Materi StudioBelajar.com lainnya: